已知圆K内切于三角形ABC的外接圆O于D且与AB,AC分别相切于P,Q,证明PQ中点I是三角形ABC的内心

Question

已知圆K内切于三角形ABC的外接圆O于D且与AB,AC分别相切于P,Q,证明PQ中点I是三角形ABC的内心

Answer 1

连个图都不给.因圆k于相切AB,AC于P,Q,所以A,I,K一定是共线 AK与PQ垂直于I ,AI是角PAQ的平分线.只需证角PBI=1/2角ABC 过D作圆O,圆K的公切线DE于点D 角EDP=角BPD(1)角EDB=角BAD(2) (1),(2)作差得 角BDP=角PDA 可推出 角BDP=(角BDP+角PDA)*1/2=1/2角BDA=1/2角ACB 又因为PI为直角三角形KPA斜边AK上的高 SO KA*KI=KP^2=KD^2 所以三角形IKD相似于三角形DKA 角KDI=角KAD 又因为(如下均为角度) KDB=90-BDE=90-PAD=90-(PAD-KAD)=90-PAK=APQ 所以B,D,I,P共圆于是 PBI=PDI=BDI-BDP=APQ-1/2ACB=1/2(ABC+ACB-ACB)=1/2ABC 得证,完了...