设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k＞0），求球体的重心位置．

Question

设有一半径为R的球体，P₀是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P₀距离的平方成正比（比例常数k＞0），求球体的重心位置．

Answer 1

【解法1】用Ω表示球体，以Ω的球心为原点O，射线OP₀ 为x轴的正方向建立直角坐标系．如下图所示．

则点P₀的坐标为（R，0，0），球面方程为 x²+y²+z²=R²．
设Ω 的重心位置为(

.

x

，

.

y

，

.

z

)．
由对称性可得，

.

y

＝0，

.

z

＝0．
由质心坐标的计算公式可得，

.

x

=(∭Ωx•ρ(x，y，z)dxdydz)/(∭Ωρ(x，y，z)dxdydz)
=(∭Ωx•k((x−R)2+y2+z2)dxdydz)/(∭Ωk((x−R)2+y2+z2))
=(∭Ωx((x−R)2+y2+z2))/(∭Ω((x−R)2+y2+z2))．
因为

∭

Ω

((x−R)2+y2+z2)dxdydz=

∭

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz-2R

∭

Ω

xdxdydz+

∭

Ω

R2dxdydz，
=

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

dφ

∫

R 0

r2r2sinφdr-0+(4)/(3)πR5
=(4)/(5)πR5+(4)/(3)πR5
=(32)/(15)πR5，
且

∭

Ω

x((x−R)2+y2+z2)dxdydz=

∭

Ω

x(x2+y2+z2+R2)dxdydz-2πR

∭

Ω

x2dxdydz
=0-(2πR)/(3)

∭

Ω

x2dxdydz
=−(8)/(15)πR6，
所以

.

x

=−(R)/(4)．
故质心坐标为 (−(R)/(4)，0，0)．
【解法2】用Ω表示球体，Ω的球心为O，以固定点P₀ 作为坐标原点，以射线P₀O为z轴的正方向建立直角坐标系．
设Ω 的重心位置为(

.

x

，

.

y

，

.

z

)．
由对称性，

.

x

＝0，

.

y

＝0．
由质心坐标的计算公式可得，

.

z

=(∭Ωkz(x2+y2+z2)dxdydz)/(∭Ωk(x2+y2+z2)dxdydz)．
因为

∭

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

dφ

∫

2Rcosθ 0

r2•r2sinφdr
=(32)/(15)πR5，

∭

Ω

z(x2+y2+z2)dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

dφ

∫

2Rcosθ 0

rsinφ•r2•r2sinφdr
=(8)/(3)πR6，
所以

.

z

=(5)/(4)R．
故球的质心坐标为(0，0，(5)/(4)R)．