已知△ABC的三边长BC=a，AC=b，AB=c，O为△ABC所在平面内一点，若aOA+bOB+cOC=0，则点O是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心

Question

已知△ABC的三边长BC=a，AC=b，AB=c，O为△ABC所在平面内一点，若a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，则点O是△ABC的（　　）

A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

Answer 1

∵a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴a

OA

+b（

OA

+

AB

）+c（

OA

+

AC

）=

0

，
∴（a+b+c）

OA

+b

AB

+c

AC

=

0

，
∴

AO

=(b)/(a+b+c)

AB

+(c)/(a+b+c)

AC

=(bc)/(a+b+c)（(AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|)），
∵(AB)/(|AB|)，(AC)/(|AC|)分别是

AB

和

AC

方向上的单位向量，
设(AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|)是∠BAC平分线所在的向量，
故AO平分∠BAC，
同理可证：BO平分∠ABC，
CO平分∠ACB，
从而O是△ABC的内心．
故选B．