关于棱锥方面的几何问题1.假设有个三棱锥,底面为正三角形(边长为a)且各侧面是各侧棱长均为b的三角形.从顶点作底面的高,垂足是不是在底面的中心（也就是重心,垂心,内心,外心合一的那个

Question

关于棱锥方面的几何问题
1.假设有个三棱锥,底面为正三角形(边长为a) 且各侧面是各侧棱长均为b的三角形.从顶点作底面的高,垂足是不是在底面的中心（也就是重心,垂心,内心,外心合一的那个心）?2.假设有个三棱锥,底面是正三角形,且底面的边长和各侧面的棱长均为a,（也就是侧面,底面均为正三角形）,从顶点作底面的高,垂足是不是在底面的中心?3.上述两个三棱锥是不是都可以叫做正棱锥?4.正棱锥的定义中,说顶点在底面的射影是底面的中心是什么意思?没分了,请高手简单扼要的答下就行,不是很复杂、、、

Answer 1

1、设三棱锥P-ABC,AB=AC=BC=a,PA=PB=PC=b,
设P在底面ABC射影为O,连结OA、OB、OC,
则OA、OB、OC分别是PA、PB、PC在底面ABC的射影,
∵PA=PB=PC=b,
OP为公用边.
〈POA=〈POB=〈POC=90°,
∴△POA≌△POB≌△POC,
∴OA=OB=OC,
∴O是正△ABC的外心,
∵正△外心、内心、重心、垂心重合为一心,
∴是底面三角形的中心（不能称是底面中心）.
2、是正四面体,是第一问的特例,当然是底面三角形和中心.
3、以上二例是正三棱锥,正棱锥包括正三棱锥.
4、因为正棱锥各侧棱相等,顶点在底面的射影就是从顶点作底面的垂线,垂足就是其射影,
从第一题中证明顶点、顶点在底面射影及底各顶点组成的三角形全等的过程可知,它们的诸射影均相等,则该点是底多边形的外接圆心,因是正棱锥,则底多边形是正多边形,其外接圆心就是其中心.