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如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,H为△AEF的垂心.求证：AC²=AH²+EF²
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如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,H为△AEF的垂心.求证：AC²=AH²+EF²
▼优质解答
答案和解析
证明：
连接FH并延长交AE于M,连接EH并延长交AF于N
∵H是⊿AEF的垂心
∴FM⊥AE,EN⊥AF
∵AE⊥BC
∴MF//BC
∵AF⊥CD
∴EN//CD
∴四边形ECFH为平行四边形
∴EH=CF
根据勾股定理
∵AH²=AM²+MH²
EF²=FM²+ME²
∴AH²+EF²=AM²+FM²+MH²+ME²
∵AM²+FM²=AF²,MH²+ME²=EH²
∴AH²+EF²=AF²+EH²=AF²+CF²
∵AF²+CF²=AC²
∴AC²=AH²+EF²
连接FH并延长交AE于M,连接EH并延长交AF于N
∵H是⊿AEF的垂心
∴FM⊥AE,EN⊥AF
∵AE⊥BC
∴MF//BC
∵AF⊥CD
∴EN//CD
∴四边形ECFH为平行四边形
∴EH=CF
根据勾股定理
∵AH²=AM²+MH²
EF²=FM²+ME²
∴AH²+EF²=AM²+FM²+MH²+ME²
∵AM²+FM²=AF²,MH²+ME²=EH²
∴AH²+EF²=AF²+EH²=AF²+CF²
∵AF²+CF²=AC²
∴AC²=AH²+EF²
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