教材上面说A和E行等价是A可逆的充要条件,那若A和E列等价或等价有类似结论吗?能不能详细说下,我不理解.若AB=BA=E则A可逆,可是行等价PA=E,P可逆,为什么就能推出A可逆呢?没有PA=AP=E这个结论啊!

Question

教材上面说A和E行等价是A可逆的充要条件,那若A和E列等价或等价有类似结论吗?
能不能详细说下,我不理解.若AB=BA=E则A可逆,可是行等价PA=E,P可逆,为什么就能推出A可逆呢?没有PA=AP=E这个结论啊!

Answer 1

首先应该知道 A 可逆的充要条件是 |A|≠0.

当 PA=E 时
有 |P||A| = |E| = 1 ≠ 0
所以 |A| ≠0
所以 A 可逆 (同理P也可逆)
此时P^-1存在
所以有 A = P^-1(PA) = P^-1E = P^-1
同理有 A^-1 = P.
即 P,A互为逆矩阵