设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心．求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．

Question

设A₁A₂A₃A₄为⊙O内接四边形，H₁，H₂，H₃，H₄依次为△A₂A₃A₄，△A₃A₄A₁，△A₄A₁A₂，△A₁A₂A₃的垂心．求证：H₁，H₂，H₃，H₄四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．

Answer 1

(A2H1)/(sin∠A2A3H1)=2R⇒A₂H₁=2Rcos∠A₃A₂A₄；
由△A₁A₃A₄得
A₁H₂=2Rcos∠A₃A₁A₄．
但∠A₃A₂A₄=∠A₃A₁A₄，故A₂H₁=A₁H₂．
易证A₂H₁∥A₁A₂，于是，A₂H₁A₁H₂，
故得H₁H₂A₂A₁．
设H₁A₁与H₂A₂的交点为M，
故H₁H₂与A₁A₂关于M点成中心对称．
同理，H₂H₃与A₂A₃，H₃H₄与A₃A₄，H₄H₁与A₄A₁都关于M点成中心对称．
故四边形H₁H₂H₃H₄与四边形A₁A₂A₃A₄关于M点成中心对称，
两者是全等四边形，H₁，H₂，H₃，H₄在同一个圆上．
后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称．
由O，M两点，Q点就不难确定了．