如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4

Question

如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．
设OB=y，AB=x，
∵∠AOM=60°，
∴OC=OB•cos60°=(1)/(2)y，
∴AC=OA-OC=8-(1)/(2)y或AC=OC-OA=(1)/(2)y-8，
∵BC²=OB²-OC²，BC²=AB²-AC²，
∴y²-（(1)/(2)y）²=x²-（8-(1)/(2)y）²或x²-（(1)/(2)y-4）²=y²-（(1)/(2)y）²，
∴x²-（y-4）²=48，
∵x与y是正整数，且y必为正整数，x-4为大于等于-4的整数，
将原方程转为 X²-Y²=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整数解，
∵（X+Y）和（X-Y）同奇同偶，
∴（X+Y）和（X-Y）同为偶数；
∴X²-Y²=48可能有几组正整数

X+Y＝24

X−Y＝2

，

X+Y＝12

X−Y＝4

，

X+Y＝8

X−Y＝6

，
解得：

X＝13

Y＝11

，

X＝8

Y＝4

，

X＝7

Y＝1

，
∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，
当x=7时，y-4=±1，y=3或y=5；
当x=8时，y-4=±4，y=8或y=0（舍去）；
当x=13时，y-4=±11，y=15或y=-7（舍去）；
∴共有4组

x＝7

y＝3

或

x＝7

y＝5

或

x＝8

y＝8

或

x＝13

y＝11

．
故选D．