已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．

Question

已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长．

Answer 1

（1）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND=5：8，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA=5：8，
即 (NE)/(NA)=(PM)/(MA)，∴MN∥PE，而MN⊄平面PBC，PE⊂面PBC，
∴MN∥平面PBC．
（2）由于△PBC是边长为13的等边三角形，
余弦定理求得PE²=PB²+BE²-2PB•EBcos60°=13²+((13)/(2))2-2×13×(13)/(2)×(1)/(2)=(8281)/(64)，
∴PE=(91)/(8)．
由于△AMN 与△APE的相似比为(8)/(13)，∴MN=(8)/(13)PE=7．