如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条

Question

如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作

AC

、

CB

、

BA

，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．
（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为___；
（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为___（请用含n的式子表示）

Answer 1

（1）∵等边△ABC的边长为3，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

AC

=

BC

=

AB

，
∴l

AC

=l

BC

=l

AB

=(60π×3)/(180)=π，
∴线段MN的长为l

AC

+l

BC

+l

AB

=3π，
故答案为：3π；

（2）如图1，
∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，
∴S_矩形AGHF=2π×3=6π，
由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG=120°，
∴S_扇形BAG=(120π×32)/(360)=3π，
∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S_矩形AGHF+S_扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如图2，

连接BI并延长交AC于D，
∵I是△ABC的重心也是内心，
∴∠DAI=30°，AD=(1)/(2)AC=(3)/(2)，
∴OI=AI=(AD)/(cos∠DAI)=((3)/(2))/(cos30°)=√(3)，
∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，
∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n•2π•√(3)=2√(3)nπ，
故答案为2

作业帮用户 2017-10-04

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