在梯形ABCD的底边AD上取一点E,使△ABE、△BCE、△CDE的周长相等,求证：BC=二分之一AD求解.

Question

在梯形ABCD的底边AD上取一点E,使△ABE、△BCE、△CDE的周长相等,求证：BC=二分之一AD
求解.

Answer 1

证明：
延长AD、BC至F、G,使CG=BE、CD=DF,连接GF、CF.
根据题意得：BE+BC+EC=CD+DE+EC
∴ CG+BC+EC= DF+DE+EC
∴ CG+BC= DF+DE
即： BG=EF
又∵ AD∥BC
∴ BEFG为平行四边形
∴ BE=GF ∠GCF=∠CFD BE∥GF
又∵ CG=BE
∴ CG=GF
∴ ∠GCF=∠GFC
又∵ CD=DF
∴ ∠DCF=∠CFD
又∵∠GCF=∠CFD
∴∠GFC=∠DCF
∴ CD∥GF
又∵ BE∥GF
∴ CD∥GF
∴ BE∥CD
∴ BEDC为平行四边行
同理：AECB为平行四边行
∴ BC=ED、BC=AE
∴ BC=(AE+ED)/2
即 BC=AD/2