如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA1和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求直线CC1与平面DA1C1所成角的正弦值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接B₁C，则
∵DC∥A₁B₁，
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，
∵A₁D⊄平面BCC₁B₁，B₁C⊂平面BCC₁B₁，
∴A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）△DA₁C₁中，A₁D=C₁D=√(5)，A₁C₁=1，
∴S△DA1C1=(1)/(2)•1•√(5−(1)/(4))=(√(19))/(4)
设C到平面DA₁C₁的距离为h，则由等体积可得(1)/(3)•(1)/(2)•1•1•2=(1)/(3)•(√(19))/(4)•h，
∴h=(4)/(√(19))，
∴直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值为(h)/(2)=

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作业帮用户 2017-10-30

问题解析

（Ⅰ）连接B₁C，证明四边形A₁B₁CD是平行四边形，可得A₁D∥B₁C，即可证明A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）由等体积求出C到平面DA₁C₁的距离，即可求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出C到平面DA₁C₁的距离是关键．

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