对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．（1）判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题？（2）如图

Question

对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．

（1）判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题？
（2）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线一点，BE=DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积是16，设BC=x，BE=y，
①求x+y的值；
②求当x+xy取最大值时FH的长．

Answer 1

（1）假命题，如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，又DC=DB，明显四边形ABDC不是正方形．
（2）连接CE，CF∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠EBC=∠FDC=90°，
在△EBC和△FDC中，

BC=DC

∠EBC=∠FDC=90°

BE=DF

∴△CBE≌△CDF（SAS）
∴CE=CF，∠BCE=∠DCE
∴∠ECF=90°，
∵G是EF的中点，
∴GE=GC，∠EGC=90°，
∵GE=GC，∠EGC=∠B=90°
∴四边形BCGE是奇特四边形；
（3）①过点G作MN∥AB，GQ∥AD，
∴△GQE≌△GMC（AAS）
∴GQ=GM，
∴四边形BMGQ是正方形，S_{四边形BCGE}=S_{正方形BMGQ}，
∵四边形BCGE的面积是16，
∴S_{正方形BMGQ}=16
∴GQ=GM=AN=4，
∵G是EF的中点，
∴AN=FN=4，
∴AF=8
∵BE=DF，BC=AD，
∴BE+BC=AF=8
∵BC=x，BE=y
∴x+y=8；
②由①知y=8-x，
∴x+xy=x+x（8-x）=-x²+9x=-（x-(9)/(2)）2+(81)/(4)，
∴x+xy取最大值时，x=BC=4.5，y=BE=3.5
∴CE=CF=√(((9)/(2))2+((7)/(2))2)=(√(130))/(2)，
∴FG=(√(260))/(4)
∵Rt△FGH∽Rt△FNG
∴FG²=FN•FH
∵FN=4，FG=(√(260))/(4)，
∴FH=(65)/(16)．