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如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点.AE与CF交于M,HE与CF交于N.(1)求证:∠DAE=∠BEA,AH=CE;(2)探究线段HE与CF的数
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如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点.AE与CF交于M,HE与CF交于N.
(1)求证:∠DAE=∠BEA,AH=CE;
(2)探究线段HE与CF的数量关系和位置关系,并说明理由.
(1)求证:∠DAE=∠BEA,AH=CE;
(2)探究线段HE与CF的数量关系和位置关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
∵△HBE是含45°角的直角三角形,
∴∠H=∠HEB=45°,
∴BH=BE,
∴BH-BA=BE-BC,
∴AH=CE;
(2)线段HE与CF的数量关系是HE=CF,位置关系是HE⊥CF,
理由是:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCE=∠HAD=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°=∠HAD,
∵由(1)知∠DAE=∠AEB,
∴∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB,
即∠HAE=∠CEF,
∵∠DCE=90°,CF平分∠DCE,
∴∠FCE=45°=∠H,
∵在△HAE和△CEF中
,
∴△HAE≌△CEF,
∴HE=CF,∠F=∠HEA,
∵∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°,
∴∠FNE=180°-90°=90°,
∴HE⊥CF,
即线段HE与CF的数量关系是HE=CF,位置关系是HE⊥CF.
∴AB=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
∵△HBE是含45°角的直角三角形,
∴∠H=∠HEB=45°,
∴BH=BE,
∴BH-BA=BE-BC,
∴AH=CE;
(2)线段HE与CF的数量关系是HE=CF,位置关系是HE⊥CF,
理由是:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCE=∠HAD=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°=∠HAD,
∵由(1)知∠DAE=∠AEB,
∴∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB,
即∠HAE=∠CEF,
∵∠DCE=90°,CF平分∠DCE,
∴∠FCE=45°=∠H,
∵在△HAE和△CEF中
|
∴△HAE≌△CEF,
∴HE=CF,∠F=∠HEA,
∵∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°,
∴∠FNE=180°-90°=90°,
∴HE⊥CF,
即线段HE与CF的数量关系是HE=CF,位置关系是HE⊥CF.
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