如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=2（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=√(2)

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO．
∵AP=BP，∴PO⊥AB，
又四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB．
又PO∩CO=O，
∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC；
（Ⅱ） ∵PA=PB=√(2)，AB=2，
∴∠APB=90°，∴PO=1．
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴OC=√(3)，又PC=2，∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥OC，又PO⊥AB，
∴PO为四棱锥P-ABCD的高，
∵∠BCD=120°，AB=2，
∴菱形ABCD的面积为2×(1)/(2)×2×2sin120°=2√(3)．
则所求棱锥体积为(1)/(3)×2√(3)×1=(2√(3))/(3)．