已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）当∠BAC的大小满足什么

Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，
∴DF∥BC，∵点D是AB中点，
∴F是AC的中点，
∴AF=CF，
∵CE∥AB，
∴∠ECF=∠DAF，
在△CEF和△ADF中，

∠ECF=∩DAF

CF=AF

∠EFC=∠DFA

，
∴△CEF≌△ADF（ASA），
∴EF=DF，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵DF⊥AC，
∴四边形AECD是菱形；
（2） 当∠BAC=45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：
∵四边形AECD是菱形，
∴∠EAC=∠BAC=45°，
∴∠EAD=90°，
∴四边形AECD是正方形．