点EF在矩形ABCD的边BC、AB上,BF=3,BE=4,CE=3,AE与CF交于点P,且角APC=角AEB+角CFB,求ABCD的面积

Question

点EF在矩形ABCD的边BC、AB上,BF=3,BE=4,CE=3,AE与CF交于点P,且角APC=角AEB+角CFB,求ABCD的面积

Answer 1

过E作EG∥CF交BF于G.
∵ABCD是矩形,∴∠B＝90°,又BF＝3、BC＝BE＋CE＝4＋3＝7,
∴tan∠BCF＝BF/BC＝3/7.
∵∠APC＝∠EPF、∠EPF＋∠AEB＋∠CFB＋∠B＝360°,
∴∠APC＋∠AEB＋∠CFB＋90°＝360°,又∠APC＝∠AEB＋∠CFB,
∴2∠APC＋90°＝360°,∴2∠APC＝270°,∴∠APC＝135°,
∴∠APF＝180°－∠APC＝180°－135°＝45°.
∵EG∥CF,∴∠BEG＝∠BCF,∴tan∠BEG＝tan∠BCF＝3/7.
∵EG∥CF,∴∠AEG＝∠APF＝45°,∴tan∠AEG＝1.
∴tan∠AEB
＝tan（∠AEG＋∠BEG）＝（tan∠AEG＋tan∠BEG）/（1－tan∠AEGtan∠BEG）
＝（1＋3/7）/（1－3/7）＝（7＋3）/（7－3）＝10/4,
而tan∠AEB＝AB/BE＝AB/4,
∴AB/4＝10/4,∴AB＝10.
∴ABCD的面积＝AB×BC＝10×（4＋3）＝70.