如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．（1）CA•CE与CB•CF相等吗？为什么？（2）连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？

Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．

（1）CA•CE与CB•CF相等吗？为什么？
（2）连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？

Answer 1

（1）CA•CE=CB•CF，理由为：
∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴(CE)/(CD)=(CD)/(CA)，即CD²=CE•CA，
∵∠CFD=∠CDB=90°，∠FCD=∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴(CF)/(CD)=(CD)/(CB)，即CD²=CB•CF，
则CA•CE=CB•CF；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△ODE∽△OCF，
∴(OC)/(OD)=(OF)/(OE)，即OC：OD=OF：OE，
则线段OC、OD、OE、OF成比例．