如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．以其三边为直径向外作三个半圆，矩形FEGH的各边分别与半圆相切，且平行于AB或BC，则矩形EFGH的面积为．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．以其三边为直径向外作三个半圆，矩形FEGH的各边分别与半圆相切，且平行于AB或BC，则矩形EFGH的面积为______．

Answer 1

取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，
∵AB∥EF，BC∥FG，
∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，
∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=(1)/(2)BC=(1)/(2)×6=3，KN=(1)/(2)BC=(1)/(2)8=4，
在Rt△ABC中，AC=√(AB2+BC2)=10，
∴OM=OQ=(1)/(2)AC=5，
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，
∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．
故答案为：48．