在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=3，求△ABC周长的取值范围．

Question

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=√(3)，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

（I）∵cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB，
∴1-sin²A=sin²B+1-sin²C+sinAsinB，
∴sin²A+sin²B-sin²C=-sinAsinB，
∴a²+b²-c²=-ab，
∴cosC＝(a2+b2−c2)/(2ab)=−(1)/(2)，
又0＜C＜π，∴C＝(2π)/(3)．
（2）∵(a)/(sinA)＝(b)/(sinB)＝(c)/(sinC)，∴a=2sinA，b=2sinB，
则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+√(3)=2（sinA+sin((π)/(3)−A)）+√(3)=2sin(A+(π)/(3))+√(3)，
∵0＜A＜(π)/(3)，(π)/(3)＜A+(π)/(3)＜(2π)/(3)，
∴(√(3))/(2)＜sin(A+(π)/(3))≤1，即2

作业帮用户 2017-10-25

问题解析

（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．

名师点评

本题考点：

余弦定理的应用．

考点点评：

熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．

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