设函数，其对应的图像为曲线C；若曲线C过，且在点处的切斜线率（1）求函数的解析式（2）证明不等式.

Question

设函数 ，其对应的图像为曲线C；若曲线C过 ，且在 点处的切斜线率
（1）求函数 的解析式
（2）证明不等式 .

Answer 1

设函数 ，其对应的图像为曲线C；若曲线C过 ，且在 点处的切斜线率
（1）求函数 的解析式
（2）证明不等式 .

（1）  ；（2）详见解析.

试题分析：（1）由题设可得两个方程：  ①，   ②.解这个方程组，求得 的值，便得函数 的解析式.（2）要证明不等式 只需证 （ ）的最大值小于等于0即可，而利用导数很易求得 的最大值，从而使问题得证.
试题解析：（1）由 得  
∵曲线C过      ∴   ①                 2分
又∵曲线C在 点处的切斜线率
∴   ②                          4分
联立①②解之得                        5分
∴函数 的解析式为               6分
（2）由（1）知 其定义域为
令 （ ），则         8分

令 （ ），解之得          10分
∴函数 在  上单调递增，在  上单调递减，    12分
而 ,所以 的最大值为0，故当 时， 即 .  13分