在三角形ABC中A,B,C分别为三个内角,a,b,c分别为三个角所对边已知2*根号2*（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB三角形ABC的外接圆半径为根号2（1）求角C(2)求三角形ABC面积S的最大值注：Sin2ASin2C代表sinA的平方S

Question

在三角形ABC中 A,B,C分别为三个内角,a,b,c分别为三个角所对边已知2*根号2*（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB
三角形ABC的外接圆半径为根号2
（1）求角C
(2)求三角形ABC面积S的最大值
注：Sin2A Sin2C代表sinA的平方 SinC的平方

Answer 1

1.
2×（2开根号） (sinA的平方－sinc的平方)=(a-b)sinB
而: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2(根号2)
sinA=a/2(根号2), sinB=b/2(根号2), sinC=c/2(根号2)
代入上式,
a^2-c^2=(a-b)b
c^2=a^2+b^2-ab
而: c^2=a^2+b^2-2abcosC
所以: 2cosC=1
cosC=1/2
C=60度
2.
三角形面积=(1/2)ab*sinC
=((根号3)/4)ab
=((根号3)/4)(2(根号2)sinA*2(根号2)sinB
=2(根号3)sinA*sinB
=2(根号3)sinA*sin(120度-A)
=-(根号3)(cos(120度)-cos(2A-120度))
=((根号3)/2)+(根号3)cos(2A-120度)
三角形面积的最大值=((根号3)/2)+(根号3)=(3/2)(根号3)
∵a/sinA=2R=2√2, ∴sinA=a/2R
同理:sinB=b/2R,sinC=c/2R
∵2√2(sin²A+sin²C)=(a-b)sinB
∴2R[(a/2R)²+(c/2R)²]=(a-b)b/2R
整理得:c²=a²+b²-ab, 又∵c²=a²+b²-2abcosC
∴ab=2abcosC, ∴cosC=1/2, ∴∠C=60º
当a=b=c=2√2*sin60º=√6时三角形面积的最大
∴SΔABC=absinC/2=(√6)²(√3/2)/2=3√3/2