用归纳法证明(1+1/（n-1）)^n>(1+1/n)^(n+1)怎么从n=k成立推出n=k+1时也成立?

Question

用归纳法证明(1+1/（n-1）)^n>(1+1/n)^(n+1)
怎么从n=k成立推出n=k+1时也成立?

Answer 1

记得当时做这个题的时候也试图用归纳法来证,不大容易.这个题相当于是说函数f(x) = (1 + 1/x)^(x + 1)在N上是减函数.简单的方法是直接证它在R+上单调减,这个可以求导来做,最后归结为证
x Log（1 + 1/x) > 1
这个题也可以利用伯努利不等式（此式也可用数学归纳法证明）：
(1 + α)^n ≥ 1 + nα
这样直接求商算一算：
f(n) / f(n + 1)
= ...
= (1 + 1 / (n^2 + 2n))^(n + 1) * (n + 1) / (n + 2)
≥ (1 + (n + 1) / (n^2 + 2n)) * (n + 1) / (n + 2)
= ...
= 1 + 1 / (n^3 + 4n^2 + 4n)
> 1
所以f(n)单调减.
方法多样,不要执着.这个习题集上的题不要做死了.