海伦公式推论有哪些都有什么应用

Question

海伦公式推论有哪些 都有什么应用

Answer 1

海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明.
证明：如图,延长DA,CB交于点E.
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得：e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①,②跟b = 代入公式变形④,得：
∴S四边形ABCD =
所以,海伦公式的推广得证.
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.
例题：如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1,CD = 2.
求：四边形可能为等腰梯形.
设BC = x
由海伦公式的推广,得：
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形.