在双曲线C：中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到一条渐近线的距离为1。（1）求该双曲线的方程；（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），

Question

在双曲线C： 中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到一条渐近线的距离为1。
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

在双曲线C： 中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到一条渐近线的距离为1。
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

（1）由题意，得 ，
解得： a = ，b=1，
∴所求双曲线方程为 。
（2）
联立 ，
得 ，
，
化简，得 ，
∴ ，
∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（ ，0），
∴ ，
即 ，
又 ，
即 ，
整理，得 ，
，
当 时，L的方程为 ，直线过定点（ ，0)，与已知矛盾；
当 时，L的方程为 ，直线过定点（2 ，0）； 
∴直线L过定点，定点坐标为（2 ，0）。