根据下列条件,求双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上,实轴长等于8,虚轴长等于2（2）焦距为26,且经过点M（0,12）（3）焦点在x轴上,焦距为10,双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6

Question

根据下列条件,求双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上,实轴长等于8,虚轴长等于2
（2）焦距为26,且经过点M（0,12）
（3）焦点在x轴上,焦距为10,双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6

Answer 1

（1）焦点在x轴上,实轴长等于8,虚轴长等于2
∵焦点在x轴上,∴设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
∵实长轴=8,∴2a=8,a=4
∵虚轴长=2,∴2b=2,b=1
∴双曲线方程为：x^2/16-y^2=1
（2）焦距为26,且经过点M（0,12）
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
∵焦距=26,∴2C=26,c=13
∴a^2+b^2=c^2=169
把M（0,12）带入双曲线方程得：-12^2/b^2=1,∵b^2＞0,不成立
∴焦点不在x轴上,
当焦点在y轴上时,设双曲线方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=0
步骤同上,把M带入后得：12^2/a^2=1,∴a=12
∵a^2+b^2=c^2=169,∴b=5
∴双曲线方程：y^2/144-x^2/25=1
（3）焦点在x轴上,焦距为10,双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6
∵焦点在x轴上,∴设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
∵焦距=10,∴2c=10,c=5,
∵双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6
∴2a=6,a=3
∵a^2+b^2=c^2,∴b=4
∴双曲线方程为：x^2/9-y^2/16=1