已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an+1-λan}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N*），求实数λ的值．

Question

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公比为q＞0，
由条件，q³，3q²，q⁴成等差数列，∴6q²=q³+q⁴
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an＝1×2n−1＝2n−1．
（2）记b_n=a_n+1-λa_n，则bn＝2n−λ•2n−1＝(2−λ)2n−1
若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合条件；   
若λ≠2，则(bn+1)/(bn)＝2，数列{b_n}为等比数列，首项为2-λ，公比为2．
此时Sn＝((2−λ))/(1−2)(1−2n)＝(2−λ)(2n−1)，
∵Sn＝2n−1(n∈N*)，
∴λ=1．