已知椭圆C的右焦点为F2（2，0），实轴的长为42．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A，B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值．

Question

已知椭圆C的右焦点为F₂（2，0），实轴的长为4√(2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A，B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值．

Answer 1

（1）由题可知：椭圆的焦点在x轴上，其标准方程可设为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1
又实轴的长为2a＝4√(2)，则a＝2√(2)，a²=8；c²=a²-b²=2²=4，故b²=4．
故椭圆的标准方程为：(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1…（4分）
（2）由题可知：
1°当AB或DE所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，此时|AB|+|DE|=2√(2)+4√(2)＝6√(2)…（6分）
2°当AB与DE所在的直线斜率都存在，而且不为零时，设AB所在直线的斜率为k，则DE所在的直线斜率为−(1)/(k)．
则AB所在直线方程为：y=k（x+2）．
联立

y＝k(x+2)

(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1

得：x²+2k²（x+2）²-8=0，即（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
设A，B两点的横坐标分别为x₁，x₂则由韦达定理可得：x1+x2＝−(8k2)/(2k2+1)；x1x2(8k2−8)/(2k2+1)…（8分）
则|AB|＝√(k2+1)|x1−x2|=√(k2+1)√((x1+x2)2−4x1x2)
=√(k2+1)√(((8k2)/(2k2+1))2−4×(8k2−8)/(2k2+1))
=√(k2+1)√((32(k2+1))/((2k2+1)2))＝4√(2)×(k2+1)/(2k2+1)
以−(1)/(k)代换上式中的k可得：|DE|＝4√(2)×((−(1)/(k))2+1)/(2(−(1)/(k))2+1)=4√(2)×(1+k2)/(2+k2)…（10分）

则|AB|+|DE|=4√(2)×(k2+1)/(2k2+1)+4√(2)×(1+k2)/(2+k2)=4√(2)(k2+1)((1)/(2k2+1)+(1)/(2+k2))
=4√(2)(k2+1)(3(k2+1))/((2k2+1)(2+k2))=(12√(2))/(((2k2+1)/(k2+1))((2+k2)/(k2+1)))＝(12√(2))/((2−(1)/(k2+1))(1+(1)/(k2+1)))
令t＝(1)/(k2+1)，则t∈（0，1]．此时f(t)＝(2−(1)/(k2+1))(1+(1)/(k2+1))＝(2−t)(1+t)＝−t2+t+2，t∈(0，1]．
由二次函数的性质可得：f(t)min＝f(1)＝2，f(t)max＝f((1)/(2))＝(9)/(4)．故(|AB|+|DE|)min＝(12√(2))/((9)/(4))＝(16√(2))/(3)．
此时t＝(1)/(2)，即k²=1，k=±1．
综上可知：当k=±1时|AB|+|DE|取得最小值，最小值为(16√(2))/(3)．…（13分）