已知复数z是方程x2+2x+10=0解，且Imz<0，若az+.z=bi（其中a、b为实数，i为虚数单位，）Imz表示z的虚部）；（I）求复数w=a+bi的模；（Ⅱ）若不等式x2+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，求实数k的取值

Question

已知复数z是方程x²+2x+10=0解，且Imz<0，若(a)/(z)+

.

z

=bi（其中a、b为实数，i为虚数单位，）Imz表示z的虚部）；
（I） 求复数w=a+bi的模；
（Ⅱ）若不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）方程x²+2x+10=0的解为x=(-2±6i)/(2)=-1±3i，
∵Imz<0，
∴z=-1-3i，
将z=-1-3i代入(a)/(z)+

.

z

=bi，得(a)/(-1-3i)-1+3i=bi，
化简得：a+10=-bi，即a=-10，b=0．
∴w=a+bi=-10，
则|w|=10；
（Ⅱ）不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，
即kx≥a-x²=-10-x²在x∈[0，5]上恒成立，
x=0时，不等式成立；
当x≠0时，有k≥-(10)/(x)-x在x∈（0，5]上恒成立，
∵-(10)/(x)-x=-((10)/(x)+x)≤-2√(10)，当且仅当x=√(10)时等号成立，
∴k≥-2√(10)．
综上，k的取值范围为[-2√(10)，+∞）．