设首项为正数的等比数列,它的前N项和为80,前2N项和为6560,且前N项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比

Question

设首项为正数的等比数列,它的前N项和为80,前2N项和为6560,且前N项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比

Answer 1

首项=a,公比=q
Sn=a(q^n-1)/(q-1)=80
S2n=a(q^2n-1)/(q-1)=6560
相除
(q^2n-1)/(q^n-1)=82
所以q^n+1=82
q^n=81
a(q^n-1)/(q-1)=80
所以a/(q-1)=80/(q^n-1)=1
a=q-1
首项为正数,a>0,所以a=a+1>1
所以前n项中最大的是an
所以an=a*q^(n-1)=(q-1)*q^(n-1)=54
q^n-q^(n-1)=54
q^(n-1)=q^n-54=81-54=27
所以q=q^n/q^(n-1)=3
a=q-1=2