数列an的首项为1,前n项和是Sn,存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立.1：设A＝0,求证an是等比.2：设数列an是等差,若p＜q,且1/Sp+1/Sq＝1/S11,求p,q的值

Question

数列an的首项为1,前n项和是Sn,存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立.
1：设A＝0,求证an是等比.2：设数列an是等差,若p＜q,且1/Sp+1/Sq＝1/S11,求p,q的值

Answer 1

(1)
an+Sn=An+B
a(n+1)+S(n+1)=A(n+1)+B
相减得2a(n+1)-an=A
A=0
2a(n+1)=an
a(n+1)/an=1/2
数列an是首项为1,公比为1/2的等比数列
（2）设数列an的公差为d,分别令n=1,2,3得：
{ a1+S1=A+B
a2+S2=2A+B
a3+S3=3A+B,
即 2=A+B
2d+3=2A+B
5d+4=3A+B,
解得, A=1 B=1 d=0,
即等差数列{an}是常数列,
所以Sn=n
又 1/Sp+1/Sq＝1/S11
则 1/p+1/q=1/11,
pq-11p-11q=0,
（p-11）（q-11）=121
因p＜q,
所以
p-11=1
q-11=121
解得 p=12
q=132