我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之

Question

我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，若c₁，c₂，c₃成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，c₃，…，c_m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

Answer 1

（1）如表…（3分）

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q	1+q	2+q		（n-1）q
第3行	q2	1+q+q2
…	…
第n行	qn-1	1+q+…qn-1

（2）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1）
当q=1时，S＝1+2+3+…+n＝(n(n+1))/(2)   
 当q≠1时，1+q+…+q^n-1=(1−qn)/(1−q)
S=(n−(q1+q2+…+qn))/(1−q)=(n)/(1−q)−(qn−qn+1)/((1−q)2)
所以综上可知Sn＝

(n(n+1))/(2)q＝1

(n)/(1−q)−(qn−qn+1)/((1−q)2)q≠1

（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²
由c22＝c1c3⇒q＝−(1)/(2)，则c1＝1，c2＝(3)/(2)，c3＝(9)/(4)
若m≥3时，c₁，c₂，c₃，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列
由上可知此时q＝−(1)/(2)，又 c₄=4+3q+2q²+q³得知c4＝(23)/(8)
而

作业帮用户 2017-09-24