我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的

Question

我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a _n }依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q 2
…	…
第n行	q n-1

（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _n ，若c ₁ ，c ₂ ，c ₃ 成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _n 的前m项c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

Answer 1

（1）如表…（3分）

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q	1+q	2+q		（n-1）q
第3行	q 2	1+q+q 2
…	…
第n行	q n-1	1+q+…q n-1

（2）S=1+（1+q）+（1+q+q ² ）+…+（1+q+…+q ^n-1 ）
当q=1时， S=1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)    
 当q≠1时，1+q+…+q ^n-1= (1- qn)/(1-q)
S= (n-( q1 + q2 +…+ qn ))/(1-q) = (n)/(1-q) -(qn - qn+1)/((1-q)2)
所以综上可知 S n =

(n(n+1))/(2) q=1

(n)/(1-q) -(qn - qn+1)/((1-q)2) q≠1

（3）可知c ₁ =1，c ₂ =2+q，c ₃ =3+2q+q ²
由 c 2 2 = c 1 c 3 ⇒q=-(1)/(2) ，则 c 1 =1， c 2 =(3)/(2) ， c 3 =(9)/(4)
若m≥3时，c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _m 为等比数列，那么c ₁ ，c ₂ ，c ₃ 一定是等比数列
由上可知此时 q=-(1)/(2) ，又 c ₄ =4+3q+2q ² +q ³ 得知 c 4 =(23)/(8)
而 (c4)/(c3) =((23)/(8))/((9)/(4)) ≠(3)/(2) ，所以对于任意的m≥4，c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _m 一定不是等比数列
综上所述，当且仅当m=3且 q=-(1)/(2) 时，数列c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…，c _m 是等比数列．