已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=13，anbn+1+bn+1=nbn，．（1）求a1的值并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=(1)/(3)，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，．
（1）求a₁的值并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）由b₁=1，b₂=(1)/(3)，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，当n=1时，有a₁b₂+b₂=b₁（2分）
因为(1)/(3)a₁=(2)/(3)，所以a₁=2（4分）
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，所以a_n=3n-1（6分）
（2）由a_n=3n-1知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n，
化简得3b_n+1=b_n，即(bn+1)/(bn)=(1)/(3)（8分）
即数列{b_n}是以1为首项，以(1)/(3)为公比的等比数列，所以bn=((1)/(3))n-1（10分）
所以等比数列{b_n}的前n项和Sn=(1×[1-((1)/(3))n])/(1-(1)/(3))=(3)/(2)-(3)/(2)×((1)/(3))n（12分）