关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两个虚数根为z1、z2，若z1、z2在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为．

Question

关于x的实系数一元二次方程x²+px+2=0的两个虚数根为z₁、z₂，若z₁、z₂在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为___．

Answer 1

因为p为实数，p≠0，z₁，z₂为虚数，
所以p²-4×2<0，即p²<8，
解得-2√(2)<p<2√(2)．
由z₁，z₂为共轭复数，知Z₁，Z₂关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点，
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z₁+z₂|=|p|，
焦距2c=|z₁-z₂|=√(8-p2)，
长轴长2a=√(8-p2+p2)=2√(2)，
故答案为：2√(2)．