设i为虚数单位，n为正整数．试用数学归纳法证明（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．

Question

设i为虚数单位，n为正整数．试用数学归纳法证明（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx．

Answer 1

①当n=1时，左边=cosx+isinx=右边，此时等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即（cosx+isinx）^k=coskx+isinkx．
则当n=k+1时，（cosx+isinx）^k+1=（cosx+isinx）^k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴当n=k+1时，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx．