满足z+5z是实数且z+3的实数与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．

Question

满足z+(5)/(z)是实数且z+3的实数与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．

Answer 1

虚数z存在．
设z=a+bi，
∵满足z+(5)/(z)是实数且z+3的实部与虚部是相反数，
∴

a+bi+(5)/(a+bi)=(a+bi)+(5(a-bi))/(a2+b2)∈R

a+3=-b

，
解得得 a=-1，b=-2或a=-2，b=-1．
∴z=-1-2i或z=-2-i．