为什么短轴的一端点与长轴的两端点所成的角,是椭圆上所有的点与长轴两端点所成角中的最大角?

Question

为什么短轴的一端点与长轴的两端点所成的角,是椭圆上所有的点与长轴两端点所成角中的最大角?

Answer 1

设一焦点在x轴上的椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),长轴的两端点为A、B,
由于对称,可取椭圆上x轴上方的任一点P(x,y),则y>0
直线PA、PB的斜率分别为k1=y/(x-a),k2=y/(x+a),设PA与PB的夹角为θ,由夹角公式得
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)=[ y/(x-a)- y/(x+a)]/{1+ [y/(x-a)][y/(x+a)]=2ay/(x²-a²+y²)
由x²/a²+y²/b²=1变形得x²-a²= -(a²/b²)y ²,代入上式得
tanθ=2ay/[y²-(a²/b²)y ²]= -2ab²/[(a²-b²)y]
可见tanθ是一个负值,当y取得最大值时,tanθ最大,θ也最大
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