（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：x＝2cosθy＝sinθ（θ为参数）与直线l：x＝1+2ty＝1−t（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：12a+1+42b+1≥94．

Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：

x＝2cosθ

y＝sinθ

（θ为参数）与直线l：

x＝1+2t

y＝1−t

（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)≥(9)/(4)．

Answer 1

（1）直线l的普通方程为x+2y-3=0．                 …（3分）
曲线C的普通方程为x²+4y²=4．                     …（3分）
由方程组

x+2y−3＝0

x2+4y2＝4

得8y²-12y+5=0
因为△=-16＜0，所以曲线C与直线l没有公共点．       …（4分）
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+(2b+1)/(2a+1)+(4(2a+1))/(2b+1)          …（5分）
≥5+2√((2b+1)/(2a+1)×(4(2a+1))/(2b+1))=9．   …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)≥(9)/(4)．　…（2分）
证法二：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（√((1)/(2a+1)×(2a+1))+√(4作业帮用户2017-11-03问题解析（1）将参数方程化为普通方程，再将直线方程代入椭圆方程，利用方程的判别式，可得结论；（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，所以（(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得结论；证法二：因为a＞0，b＞0，（(1)/(2a+1)+(4)/(2b+1)）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可证结论．名师点评本题考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程；不等式的证明．考点点评：本题考查参数方程，考查不等式的证明，解题的关键是化参数方程为普通方程，正确运用基本不等式与柯西不等式，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)