已知A点坐标为（4,0）,B点坐标为（0,8）,点M是线段OA上一动点,（不与点O、点A重合）,点N是线段OB上一动点,且运动时始终保持ON=2AM,连接MN,并作△OMN的角平分线OD.（1）当△OMN是等腰三角形时,求M

Question

已知A点坐标为（4,0）,B点坐标为（0,8）,点M是线段OA上一动点,（不与点O、点A重合）,点
N是线段OB上一动点,且运动时始终保持ON=2AM,连接MN,并作△OMN的角平分线OD.
（1）当△OMN是等腰三角形时,求MN的长；
（2）当点M处于什么位置时,MN最短?并求出这个最短长度；
（3）点D是否存在整点（横纵坐标均为整点的点）的可能?若不存在,请说明理由；若存在,则请求出所有能使点D成为整点的点M的位置.

Answer 1

（1）因OMP⊥ON,
当△OMN是等腰三角形时,
只可能是OM=ON；
∵ ON=2AM,
∴ OM+AM=2AM+AM=OA=4,
∴ AM=4/3,OM=8/3；
∴ MN=√2*(8/3)=8√2/3；
（2）MN²=OM²+ON²=(4-AM)²+4AM²=5AM²-8AM+16=5(AM -4/5)² +64/5 ≥ 64/5；
∴ MN≥8√5/5；
此时 AM=4/5,OM=4 -4/5=16/5；
（3）OD平分直角∠MON,
故D纵横坐标相等,
设为(c,c),
直线MN的方程为y-c=k(x-c)；（k