设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点

Question

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程．

Answer 1

（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．
∴a=(−1+1+x)/(3)，b=(0+o+y)/(3)，即  x=3a，y=3b   （1）．  
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即 √(1+b2)=√(x2+(b−y)2)  （2）．
由（1）（2）得  x2+(y2)/(3)＝ 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为  x2+(y2)/(3)＝ 1，（xy≠0）．
（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x₁，y₁），N （x₂，y₂），
由

y ＝ kx + 1

x2+(y2)/(3)＝ 1

  消y得 （3+k²）x²+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴△=b²-4ac=4k²+8（3+k²）＞0，x₁+x₂=-(2k)/(3+k2)，x₁•x₂=-(2)/(3+k2)．
∵OP⊥ON，∴x₁•x₂+y₁y₂=0，∴x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
∴1+k²（-(2)/(3+k2)）+k （-

作业帮用户 2017-10-04

问题解析

（I）设C（x，y）（xy≠0），由三角形重心坐标公式得到x=3a，y=3b，再由|MA|=|MC|，得到三角形顶点C的轨迹方程．
（II） 设直线l的方程为 y=kx+1，代入x2+(y2)/(3)＝ 1，把根与系数的关系代入由OP⊥ON得到的x₁•x₂+y₁y₂=0 中，求出斜率k，即得直线l的方程．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；直线的一般式方程．

考点点评：

本题考查三角形重心坐标公式，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，求直线l的斜率是解题的难点．

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