已知：直角梯形OABC的四个顶点是O（0，0），A（32，1），B（s，t），C（72，0），抛物线y=x2+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．（1）求s与t的值，并在直角坐标系中画

Question

已知：直角梯形OABC的四个顶点是O（0，0），A（(3)/(2)，1），B（s，t），C（(7)/(2)，0），抛物线y=x²+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．
（1）求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；
（2）当抛物线y=x²+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC，
∵∠AOC≠90°，
∴∠ABC=90°，
故BC⊥OC，BC⊥AB，
∴B（(7)/(2)，1）．（（1分））
即s=(7)/(2)，t=1．直角梯形如图所画．（2分）
（大致说清理由即可）

（2）由题意，y=x²+mx-m与y=1（线段AB）相交，
得，

y＝x2+mx−m

y＝1

（3分）
∴1=x²+mx-m，
由（x-1）（x+1+m）=0，
得x₁=1，x₂=-m-1．
∵x₁=1＜(3)/(2)，不合题意，舍去．（4分）
∴抛物线y=x²+mx-m与AB边只能相交于（x₂，1），
∴(3)/(2)≤-m-1≤(7)/(2)，
∴−(9)/(2)≤m≤−(5)/(2)．①（5分）
又∵顶点P（−(m)/(2)，−(m2+4m)/(4)）是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，
∴0≤−(m)/(2)≤(7)/(2)，即-7≤m≤0． ②（6分）
∵−(m2+4m)/(4)＝−((m+2)2−4)/(4)＝−((m)/(2)+1)2+1≤1，
（或者抛物线y=x²+mx-m顶点的纵坐标最大值是1）
∴点P一定在线段AB的下方．（7分）
又∵点P在x轴的上方，
∴−(m2+4m)/(4)≥0，m（m+4）≤0，
∴

m≤0

m+4≥0

或者

m≥0

m+4≤0

．（8分）
∴-4≤m≤0． （9分） ③（9分）
又∵点P在直线y=(2)/(3)x的下方，
∴−(m2+4m)/(4)≤(2)/(3)×(−(m)/(2))，（10分）
即m（3m+8）≥0．

m≤0

3m+8≤0

或者

m≥0

3m+8≥0

，（*（8分）处评分后，此处不重复评分）
∴m≤-(8)/(3)（11分），或m≥0 ④
由①，②，③，④，得-4≤m≤-(8)/(3)．（12分）
说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣（1分），个别漏写的酌情处理．