（2014•上饶一模）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且BE=13BC1．（1）求证

Question

（2014•上饶一模）如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=(1)/(3)BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁BB；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

（1）延长B₁E交BC于F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=(1)/(2)EC₁
∴BF=(1)/(2)B₁C₁=(1)/(2)BC，从而F为BC的中点． （2分）
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且=(FG)/(FA)＝(FE)/(FB1)＝(1)/(3)，
∴GE∥AB₁，
又GE⊄侧面AA₁B₁B，AB₁⊂侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B （4分）
（2）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=√(3)（6分）
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B₁TH为所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=(3)/(2)，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=(B1H)/(HT)＝(2√(3))/(3)（10分）
从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan (2√(3))/(3)（12分）．