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(2013•海淀区一模)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.(Ⅰ)求证:BD⊥PC;(Ⅱ)求证:MN∥平面PDC
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(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)求证:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-B的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
证明:(I)∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
(Ⅱ)在正△ABC中,BM=2
.
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.
∠ADC=120°,∴DM=
,
∴
=
.
在等腰直角△PAB中,PA=AB=4,PB=4
,
∴
=
,
∴
=
,
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,
∴MN∥平面PDC.
(Ⅲ)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图的空间直角坐标系,
∴B(4,0,0),C(2,2
,0),D(0,
,0),P(0,0,4).
由(Ⅱ)可知,
=(4,−
∴BM⊥AC,即BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
(Ⅱ)在正△ABC中,BM=2
3 |
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.
∠ADC=120°,∴DM=
2
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3 |
∴
BM |
MD |
3 |
1 |
在等腰直角△PAB中,PA=AB=4,PB=4
2 |
∴
BN |
NP |
3 |
1 |
∴
BN |
NP |
BM |
MD |
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,
∴MN∥平面PDC.

(Ⅲ)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图的空间直角坐标系,
∴B(4,0,0),C(2,2
3 |
4
| ||
3 |
由(Ⅱ)可知,
DB |
4
(Ⅲ)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角.
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