正四面体ABCD中,P是AD的中点,求CP与平面DBC所成角的正弦值

Question

正四面体ABCD中,P是AD的中点,求CP与平面DBC所成角的正弦值

Answer 1

解析：
过点A作AO⊥平面DBC,垂足为O,连结DO,交BC于点E,
在平面AOD内过点P作PQ//AO,交DO于点Q,连结CQ
那么：PQ⊥平面DBC且点O为底面正三角形BCD的中心
所以：∠PCQ就是CP与平面DBC所成角
令正四面体ABCD的棱长为a,那么：
在正三角形BCD和正三角形ACD中易得：
中线DF=CP=(根号3)a/2
所以：DO=(2/3)*DF=(根号3)a/3
则在Rt△AOD中,由勾股定理得：
AO=根号(AD²-DO²)=根号(a²- a²/3)=(根号6)a/3
因为点P是AD的中点,PQ//AO,所以：PQ=AO/2=(根号6)a/6
那么在Rt△PCQ中：
sin∠PCQ=PQ/PC=[(根号6)a/6]÷[(根号3)a/2]=(根号2)/3
即CP与平面DBC所成角的正弦为(根号2)/3