为什么映射的定义不直接精简为值域呢,包含一些没有原像的y元素有何意义?映射定义中,Y集合与值域是从属关系.那么,也就是说存在非单射非满射的情况,这个情况很少遇到.不知这种情况有何

Question

为什么映射的定义不直接精简为值域呢,包含一些没有原像的y元素有何意义?
映射定义中,Y集合与值域是从属关系.
那么,也就是说存在非单射非满射的情况,这个情况很少遇到.不知这种情况有何意义?
为何在定义的时候,不直接将Y精简的定义为X的值域.

Answer 1

你要知道不是所有函数的值域都是可以很容易求出的,有些甚至是不可预测的.比如y=x^7+4x^5+3x^4+6x+9,这不是一个很复杂的函数,但你能很容易求出它的值域么?再比如一些没有具体解析表达式的函数,例如一天24小时内温度随时间的变化,这是一个函数关系,但是这函数的值域也就是一天内的温度范围要如何能事先得知呢,我们只能预知一个大致的范围,例如温度在0度到40度之间（这就可以作为映射中的集合Y）,但精确的范围（即值域）是不可能提前得知的.鉴于这些求函数值域的麻烦,我们索性不要求Y中的每个元素在X中都有原像,即映射f可以不是满射.这样就可以非常方便地给定函数.例如y=x^2,虽然我们知道它的值域是[0,﹢∞),但我们依然可以把这个函数表示为f：R->R,其中f(x)=x^2.