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设V是一个向量空间,且V不等于｛0｝,证明：V不可能表示它的两个真子空间的并集.
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设V是一个向量空间,且V不等于｛0｝,证明：V不可能表示它的两个真子空间的并集.
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答案和解析
假设命题不成立,设V=U∪W,其中U和W是V的真子空间
首先有U≠W,否则U=W=V
则存在x∈U,但x 不属于W
存在y∈W,但y 不属于U
考虑x+y,x+y∈V
则x+y∈U或x+y∈W
不妨设x+y∈U
由x∈U可得y∈U,矛盾
首先有U≠W,否则U=W=V
则存在x∈U,但x 不属于W
存在y∈W,但y 不属于U
考虑x+y,x+y∈V
则x+y∈U或x+y∈W
不妨设x+y∈U
由x∈U可得y∈U,矛盾
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