求证d(P,Q)≤d(P,R)+d(R,Q),P,R在n维空间

Question

求证d(P,Q)≤d(P,R)+d(R,Q), P,R在n维空间

Answer 1

设P=(a1,a2,...,an),Q=(b1,b2,...,bn),R=(c1,c2,...,cn),则
d(R,Q)=√((c1-b1)^2+(c2-b2)^2+...+(cn-bn)^2)=√(X1^2+X2^2+...+Xn^2),
d(P,R)=√((a1-c1)^2+(a2-c2)^2+...+(an-cn)^2)=√Y1^2+Y2^2+...+Yn^2,
d(P,Q)=√((a1-b1)^2+(a2-b2)^2+...+(an-bn)^2)=√(X1+Y1)^2+(X2+Y2)^2+...+(Xn+Yn)^2),其中X1=c1-b1,X2=c2-b2,...,Xn=cn-bn,Y1=a1-c1,Y2=a2-c2,...,Yn=an-cn,由柯西不等式得
X1*Y1+X2*Y2+...+Xn*Yn≤√(X1^2+Xn^2+...+Xn^2)√(Y1^2+Yn^2+...+Yn^2),两边乘2得
2(X1*Y1+X2*Y2+...+Xn*Yn)≤2√(X1^2+Xn^2+...+Xn^2)√(Y1^2+Yn^2+...+Yn^2)
两边加上(X1^2+X2^2+...+Xn^2)+(Y1^2+Y2^2+...+Yn^2)得
(X1^2+X2^2+...+Xn^2)+2(X1*Y1+X2*Y2+...+Xn*Yn)+(Y1^2+Y2^2+...+Yn^2)≤(X1^2+X2^2+...+Xn^2)+2√(X1^2+Xn^2+...+Xn^2)√(Y1^2+Yn^2+...+Yn^2)+(Y1^2+Y2^2+...+Yn^2)
(X1+Y1)^2+(X2+Y2)^2+...+(Xn+Yn)^2≤{√((X1^2+X2^2+...+Xn^2))+√((Y1^2+Y2^2+...+Yn^2))}^2,两边开方得
√((X1+Y1)^2+(X2+Y2)^2+...+(Xn+Yn)^2)≤√((X1^2+X2^2+...+Xn^2))+√((Y1^2+Y2^2+...+Yn^2))
即d(R,Q)≤(d(P,R)+d(R,Q)