(1)将所有实轴上的有理数的点聚集在一起的长度是多长?(2)将所有实轴上的无理数的点聚集在一起的长度是多长?(3)将实数中除0以外所有的实数相乘最后结果是多少?(4)z=x+iy,r^2=x^2+y^2z^(1/2)=r^(1/2)

Question

(1)
将所有实轴上的有理数的点聚集在一起的长度是多长?
(2)
将所有实轴上的无理数的点聚集在一起的长度是多长?
(3)
将实数中除0以外所有的实数相乘最后结果是多少?
(4)
z=x+iy,r^2=x^2+y^2
z^(1/2)=r^(1/2)[cos(1/2w)+isin(1/2w)]
以上能否简单证明?
50分太少,只求交流,

Answer 1

(1)
将所有实轴上的有理数的点聚集在一起的长度是多长?
0,有理数的测度是0.
(2)
将所有实轴上的无理数的点聚集在一起的长度是多长?
正无穷大.因为无理数的测度+有理数的测度= 正无穷【整个实轴的长度】,而有理数的测度=0.
(3)
将实数中除0以外所有的实数相乘最后结果是多少?
可以有无穷种结果.
比如,[a*(1/a)]*[b*(1/b)]*.结果为1.
[a*2/a]*[b*2/b]*...结果为2.
...
[a*n/a]*[b*n/b]*...结果为n.
因此上面的乘积是发散的.
(4)
z=x+iy,r^2=x^2+y^2
z^(1/2)=r^(1/2)[cos(1/2w)+isin(1/2w)]
请问这样表达对不对?
若x,y都是实数.w = arctan(y/x),r = (x^2+y^2)^(1/2),结果对啊.
z = x + iy = r[cosw + isinw] = re^[iw]
z^(1/2) = r^(1/2)e^[iw/2] = r^(1/2)[cos(w/2) + isin(w/2)].
但若x,y不都是实数,或w不等于arctan(y/x),或r = -(x^2 + y^2)^(1/2),结果就不对了.