IMO2011趣题：总存在一条将会遍历所有点的直线设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过S中单独一点P的

Question

IMO2011趣题：总存在一条将会遍历所有点的直线
设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 S 中单独一点 P 的一条直线 l 开始，以 P 为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到 S 中的另一点，记为点 Q 。接着这条直线以 Q 为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到 S 中的某一点，这样的过程无限持续下去。
证明：可以适当选取 S 中的一点 P ，以及过 P 的一条直线 l ，使得由此产生的“风车”将 S 中的每一点都无限多次用作旋转中心。

Answer 1

神题就该有神解，这道题有一个异常简单巧妙的证明方法。 找一条直线，这条直线两侧的点数一样多（最多相差一个）。下面我们证明，这条线就满足要求。容易看出，在直线的旋转过程中，直线两侧的点数之差始终不变。因此，这条直线转了 180 度后，直线一定回到了初始的位置（或者它旁边一个点的位置）。但此时，原来在直线左侧的点现在全部跑到了直线右侧，原来在直线右侧的点现在全部跑到了直线左侧。这些点当然是不能瞬移到直线另一侧的，要想跑到直线的另一侧，必须要先穿过直线才行。由此可见，所有点都被直线碰到过了。